Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.  Beberapa buku dan karya ilmiah menuliskan  ataupun  X kedua notasi tersebut dapat ditemukan buku dan karya ilmiah yang berbahasa inggris. Awal penemuan Napier tentang logaritma sebenarnya sangat sederhana. Menggunakan progresi geometrik dan integral secara bersamaan. Ambillah sebuah bilangan tertentu yang mendekati angka 1. Napier menggunakan 1 – 107 (atau 0,9999999) sebagai bilangan. Sekarang, istilah progresi dari pangkat yang terus meningkat sampai akhirnya hasilnya mendekati – sangat sedikit selisihnya. Untuk mencapai “keseimbangan” dan menghindari terjadi (bilangan) desimal dikalikan dengan 107. N = 107(1 – 1/107)L, dimana L adalah logaritma Napier sehingga logaritma dari 107 sama dengan nol, yaitu: 107 (1-1/107) = 0,9999999 adalah 1 dan seterusnya. Apabila bilangan tersebut dan logaritma dibagi 107, akan ditemukan - secara virtual – sistem logaritma sebagai basis 1/e, untuk (1-1/107)107 mendekati Lim n→∞ (1 –1/n)n=1/e. Perlu diingat bahwa Napier tidak mempunyai konsep logaritma sebagai dasar, seperti yang kita ketahui sekarang. Prinsip-prinsip kerja Napier akan lebih jelas dengan menggunakan konsep geometri di bawah ini.

A___________________P____________B___________________



C_______________________D__________Q_______________________E

Garis AB adalah setengah dari garis CE. Bayangkan titik P berangkat dari titik A, berjalan menyusur garis AB dengan kecepatan semakin menurun dengan proporsi sebanding dengan jaraknya dari titik B; pada saat bersamaan titik Q bergerak dari garis CE… dengan kecepatan bergerak sama seperti titik P. Napier menyebut variabel jarak CQ adalah logaritma dari jarak PB adalah difinisi geometrik Napier. Misal: PB = x dan CQ = y. Apabila AB dianggap 107, dan jika kecepatan bergeraknya P juga 107, maka dalam notasi kalkulus modern didapat dx/dt = -x dan dy/dt = 107, x0 = 107, y0 = 0. Jadi dy/dx = - 107/x, atau y = -107 ln cx, dimana c adalah inisial kondisi untuk menjadi 10-7. Hasil, y = -107 ln (x/107) atau y/107 = log 1/e(x/107).

A. NOTASI LOGARTMA

Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi ^blog a daripada log_ba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi log_ba Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti ^elog a, log a sebagai ganti ¹⁰log a dan ld a sebagai ganti ²log a. Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e. Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e. Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada ¹⁰log x dan log x (huruf kecil L) menunjuk kepada ^elog x.

B.  SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Kita ketahui bahwa  = b maka dalam bentuk logaritma dapat ditulis  = c.

Dengan a = basis, c= adalah hasil dari logaritma, b= bilangan yang dilogaritma.

Jadi dapat kita simpulkan sebagai berikut sifat-sifatnya :

1.       = 1

2.       = 0

3.       = n

4.        = n.

5.        =  + .

6.          =  -

7.       =  

8.           =

9.       .  = .

10.     =

11.   = b

C. FUNGSI LOGARITMA

Setiap fungsi eksponensial f(x) = a^x, dengan a > 0 dan a ≠ 1, merupakan fungsi korespondensi satu-satu. Hal ini dapat dilihat dengan menggunakan Uji Garis Horizontal (lihat Gambar 1 untuk kasus a > 1). Oleh karena itu fungsi eksponensial memiliki fungsi invers. Fungsi invers tersebut dinamakan fungsi logaritma dengan basis a dan dinotasikan dengan log_a.

Fungsi invers f^–1 didefinisikan sebagai

Definisi ini akan membawa kita kepada definisi fungsi logaritma berikut ini. Misalkan a adalah bilangan positif dengan a ≠ 1. Fungsi logaritma dengan basis a, yang dinotasikan dengan log_a, didefinisikan dengan

Sehingga log_a x merupakan pangkat dari a untuk menjadi x. Ketika kita menggunakan definisi logaritma untuk mengganti bentuk logaritma log_a x = y menjadi bentuk eksponensial a^y = x, atau sebaliknya, perhatikan bahwa dalam kedua bentuk ini, basisnya tetap sama.

Bentuk umum dari fungsi logaritma yaitu Jika a^y = x dengan a ≥0 dan a ≠ 1 maka y =^alog x mempunyai sifat-sifat :

1. semua x > 0 terdefinisi
2. jika x mendekati no maka nilai y besar sekali dan positif
3. untuk x=1 maka y=o
4. untuk x > 1 maka y negatif sehingga jika nilai x semakin besar maka nilai y semakin kecil.

Grafik Fungsi y = ^alog x untuk a >0 mempunyai sifat – sifat sebagai berikut :

1. untuk semua x > 0 terdefinisi
2. jika x mendekati no maka y kecil sekali dan negatif
3. untuk x=1 maka y=0
4. untuk x > 1 maka y positif sehingga jika x semakin besar maka y semakin besar.

Fungsi Logaritma adalah pangkat dengan suatu basis tertentu harus dipangkatkan untuk mendapatkan bilangan tertentu. Invers dari fungsi eksponen y = a^x untuk a > 0 dan a ≠ 1 adalah fungsi logaritma. Persamaan y= a^x dalam bentuk eksponen ekuivalen dari persamaan y = ^a log x dalam bentuk logaritma. Bila a > 0 dan a ≠ 0 maka fungsi yang didefinisikan oleh g (x) = ^a log x dengan x > 0 dinamakan fungsi logaritma. Untuk selanjutnya penulisan fungsi logaritma cukup ditulis dengan bentuk f (x) = ^a log x atau y= ^a log x atau y = log_a x.. Ada dua cara dalam menggambarkan grafik fungsi logaritma yaitu dengan menggunakan grafik fungsi eksponen dan substitusi titik.

1.      Cara 1 dengan fungsi eksponen.

Dengan cara menyelesaikan fungsi eksponen berarti ada dua cara yaitu dengan cara mensubtitusikan dan mencerminkanya. Dengan kita ketahui bahwa menyelesaikan fungsi y = ^a log x akan sama dengan halnya menyelesaikan  fungsi  y  = . 

Contohnya sama dengan grafik eksponen diatas yaitu grafik fungsi y = ² log x dengan menggunakan grafik y = 2^x berikut.

Bila y = 2^x dicerminkan terhadap garis y = x, seperti tampak pada gambar di atas, maka hasil pencerminan dari y = 2^x adalah y = ² log x.

2.      Cara dengan substitusi titik.

Misalkan kita akan menggambar grafik dari f (x) = ³ log x untuk -3 ≤ y ≤ 3, y ϵ Ɍ. Untuk membantu kita dalam melukis grafik fungsi logaritma, mula-mula pilih nilai y yang terletak pada selang yang diketahui, kemudian substitusikan ke f (x) untuk memperoleh nilai x.

Titik yang diperoleh dilukiskan pada diagram kartesius berupa titik (bulatan kecil). Titik tersebut dihubungkan sehingga membentuk kurva f (x) = ³ log x seperti gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas diperoleh bahwa:

-         Bila nilai x bertambah, maka nilai f (x) bertambah, dan bila x berkurang mendekati nol, maka nilai f (x) juga semakin berkurang.

-         Garis x = 0 merupakan asimtot tegak.

-         Grafik fungsi logaritma y = ³ log x selalu naik untuk setiap x, dengan kata lain fungsi y = ^a log xdengan a > 1 merupakan fungsi naik.

-         Dengan demikian, dapat disimpulkan:
Fungsi logaritma y = ^a log x dengan a > 1 merupakan fungsi monoton naik, sebab bila x₁ < x₂maka ^a log x₁ < ^a log x₂

Misalkan kita akan menggambar dari grafik y = 13log x untuk -3 ≤ y ≤ 3, y ϵ Ɍ. Untuk membantu kita dalam melukis grafik fungsi logaritma, mula-mula pilih nilai y yang terletak pada selang yang diketahui, kemudian substitusikan ke f (x).

Titik yang diperoleh dilukiskan pada diagram kartesius berupa titik (bulatan kecil). Titik tersebut dihubungkan sehingga membentuk kurva y = 13 log x seperti gambar di bawah ini.

Dari gambar di atas diperoleh bahwa:

-          Bila nilai x bertambah, maka nilai f (x) berkurang dan bila x berkurang mendekati nol, maka nilai f (x) semakin besar.

-         Garis x = 0 merupakan asimtot tegak.

-         Grafik fungsi logaritma y = 13log x selalu turun untuk setiap x, dengan kata lain fungsi y = ^a logx dengan 0 < a < 1 merupakan fungsi turun.

-         Dengan demikian, dapat disimpulkan:
Fungsi logaritma y = ^a log x dengan 0 < a < 1 merupakan fungsi monoton turun, sebab bila x₁ <x₂ maka ^a log x₁ > ^a log x₂

Jika grafik y = ³ log x dan y = 13log x digambar pada satu diagram maka grafiknya adalah sebagai berikut.

Berdasarkan gambar di atas, dapat diperoleh bahwa:

-         Grafik y = ^a log x dengan 0 < a < 1 dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik y = ^a log xdengan a >1 terhadap sumbu x.

-          Grafik y = ^a log x dengan 0 < a < 1 dan y = ^a log x dengan a >1 berpotongan di titik (1, 0)

-         Jika x₁ dan x₂ adalah dua buah titik sembarang pada grafik dan x₂ > x₁, maka ^a log x₂ > ^a logx₁ untuk a > 1 dan ^a log x₂ < ^a log x₁ untuk 0 < a < 1.

-          y = f (x) ^a log x merupakan fungsi naik untuk a > 1 dan merupakan fungsi turun untuk 0 < a < 1.

D.PEMANFAATAN LOGARITMA

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.

·         Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10⁻⁷ pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

• Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

• Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.

• Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

E.  SOAL DAN PEMBAHASAN LOGARITMA

1.      Tentukan nilai dari x  adalah

-         = =   =

-          = =  

-         x =    

                               =   x

                                                                         = .

            Jadi nilai dari x = .

2.       Hitunglah nilai dari logaritma berikut    . . .  !

-           =-  .  = = -

-         =  =   = = 

-         =  = -4  = -4

-          =  = =  = 27

-          . . .  = -  x   x -4 x 27

                                                                                                        = 384.

Jadi nilai dari  . . .  = 384

3.       Tentukan nilai k dari persamaan berikut ini   = 24 !

-          =  = 12k + 8

-         12k + 8 = 24

-         12k = 16

-         K =

4.       Tentukan nilai x dari persamaan logaritma berikut,  = .  !

-         . = . = . = 3

-          =  =

-          = .

-          = 3

-          = 6

-        

                Jadi nilai x pada persamaan  = . , x adalah 1.

5.       Jika diketahui bahwa a =  dan b = . Tentukan nilai dari  !

-          =  = +  =  +

-          +

-        

Jadi nilai dari  adalah 3b + a.

6.       Tentukan nilai dari = p dan  = q, tentukan nilai dari !

-         = = +

-         +

-        

                Jadi nilai dari adalah

7.       Tentukan nilai dari  adalah:

-          .  = -   . 4  . = -6

-          = = 16

Jadi nilai pernyataan tersebut adalah 10.

8.       Hasil dari  adalah:

Pembahasan:

9.      Jika ³log 5 = 1,465 dan ³log 7 = 1,771, maka ³log 105 adalah:

³log5 = 1,465 dan ³log7 = 1,771, maka:

³log105 = ³log3.5.7

³log3 + ³log5 +³log7

1 + 1,465 + 1,771

10.  Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, maka log 600 =
Pembahasan:
Diketahui log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771
Log 600 = log 2.3.100
= log 2 + log 3 + log 100
= 0,3010 + 0,4771 + 2 = 2,7781

11.   Jika diketahui 2log 3 = x dan 2log 5 = y, maka 2log 45 √15 sama dengan:
Pembahasan:

 ²log 45√(15)= ²log 3².5.(3.5)^1/2

²log 3².5.3^1/2.5^1/2

²log 3^5/2 + ²log 5^3/2

(5/2) ²log 3 + (3/2)²log 5

½(5x + 3y)

12.  Sederhanakan bentuk  Log 7 + log 2 + log 1/40 + log 1/7 !

= log (7 x 2 x 1/10 x 1/7)
= log 1/5
= log 1 – log 5
= log 100 – log 5
= 0 – log 5
= – log 5

13.  Sederhanakan bentuk 3 log 5 + log 8 – log 40 !

= log 53 + log 8 – log 40
= log 125 + log 8 – log 40
= log
= log 25
= log 52 = 2 log 5

14.  Tentukan nilai x, jika 4log 5x = 3 !

4log 5x = 3
5x = 64
x = 64/5

15.  Tentukan nilai dari log 18 . Jika log 3 = 0,477 dan log 2 = 0,301 !

log 3 = 0,477 dan log 2 = 0,301

log 18 = log 9 x 2

                        = log 9 + log 2

                        = log 3² + log 2

                        = 2 (0,477) + 0,301

                        = 0,954 + 0,301

                        = 1,255 

16.   Log 2 = 0,301 dan log 5 = 0,699 Nilai log 5 + log 8 + log 25 = ….

log 2 = 0,301 dan log 5 = 0,699

= log 5 + log 8 + log 25

      = log 5 + log 2³ + log 5²

= log 5 + 3.log 2 + 2.log 5

= 0,699 + 3(0,301) + 2(0,699)

= 0,699 + 0,903 + 1,398

= 3,0        

17.  Tentukan nilai dari +  = 4 !

- +  = 4

- + 2 = 4

- 3 = 4

- =

18.  Hitunglah nilai dari log18 !
                       log18=log2.32

                      log2+log32

                      =log2+2.log3

                      =0,3010+2.(0,4771)

                      =0,3010+0,9542=1,2552

19.  Tentukan nilai dari ⁴log 8 + ²⁷log 9 !

-         ⁴log 8 + ²⁷log 9

-          ²²log 2³ + ³³log 3²

-         3/2 ²log 2 + 2/3 ³log 3

-         3/2 + 2/3 = 9/6 + 4/6 = 13/6

20.  Diketahui ²log √ (12 x + 4) = 3. Tentukan nilai x

Ruas kiri bentuknya log, ruas kanan belum bentuk log, ubah dulu ruas kanan agar jadi bentuk log.  Ingat 3 itu sama juga dengan ²log 2³ . Ingat rumus ^alog a^b = b jadi ²log √( 12 x + 4) = ²log 2³ Kiri kanan sudah bentuk log dengan basis yang sama-sama dua, hingga tinggal menyamakan yang di dalam log kiri-kanan atau coret aja lognya:

 ²log √( 12 x + 4) = ²log 2³

√( 12 x + 4) = 2³

√( 12 x + 4)  = 8

Agar hilang akarnya, kuadratkan kiri, kuadratkan kanan. Yang kiri jadi hilang akarnya:

12 x + 4 = 8²
12x + 4 = 64
12 x = 60
x = ⁶⁰/₁₂ = 5