Blogku Duniaku: himpunan

A. PENGERTIAN HIMPUNAN

Pengertian himpunan sangat bervariasi, sehingga kita dengan mudahnya mengambil pengertian yang secara umum, dan yang mudah untuk kita hafalkan dan pahami. Contohnya sebagai berikut :

a. Himpunan matematika dapat idefinisikan sebagai sebuah kumpulan dari beberapa objek baik itu benda abstrak maupun benda real (nyata) yang dapat didefinisikan dengan jelas.

b. Himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.

c. Himpunan adalah objek atau benda yang dapat didefinisikan dengan jelas. Artinya benda tersebut jelas adanya dan memiliki keterangan yang jelas.

d. Himpunan dalam cangkup yang sederhana berarti kumpulan benda-benda (real atau abstrak). Benda dapat dikelompokan karena mempunyai sifat-sifat yang sama.

e. Himpunan dalam cangkup ilmu matematika adalah kumpulan dari benda-benda, bilangan-bilangan, manusia, ataupun ide.

Semua pernyataan diatas tidak ada yang salah semuanya benar untuk dipahami maka dari itu kita dapat ambil kesimpulan bahwa “Himpunan adalah segala sesuatu baik itu benda ataupun objek yang dapat didefinisikan atau dikelompokan dengan jelas”. Maksud didefinisikan dengan jelas adalah supaya orang dapat menentukan apakah suatu benda atau hal lain itu merupakan anggota himpunan yang dimaksud atau tidak.

Teori himpunan diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai dikenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

B. HIMPUNAN DAN BUKAN HIMPUNAN

Untuk dapat membedakan suatu kelompok yang termasuk himpunan maupun bukan himpunan cukup mudah. Yaitu dengan cara kita tahu definisi apa itu himpunan, dengan kita mengetahui himpunan itu apa kita dapat dengan mudah membedakan kelompok-kelompok yang termasuk himpunan dan yang bukan termasuk himpunan.

Dimana dengan mudah kita menyebutkan himpunan adalah sebuah benda atau objek yang dapat dikelompokan kedalam suatu definisi atau kelompok yang sama. Berikut adalah contoh himpunan dan bukan himpunan.

1. Contoh Himpunan

- Apel, Anggur, Melon, Salak, Semangka, Nanas adalah termasuk himpunan nama-nama buah.

- Kopma, Kisi, Persma adalah termasuk himpunan UKM di Universitas Siliwangi.

- 0,1,2,3,4,5… adalah himpunan bilangan bulat lebih dari -1.

- X adalah himpunan nama Sayuran. Anggota himpunan X adalah Kangkung, Bayam, Buncis, Terong.

- -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7 adalah himpunan dari bilangan negatif.

- Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Fakultas Teknik, Fakultas Ekonomi adalah himpunan fakultas yang ada di Universitas Siliwangi.

2. Contoh Bukan Himpunan

- Salak, Terong, Nanas, Mangga dan Bayam adalah himpunan dari nama-nama Buah-buahan. Pernyataan diatas bukan himpunan dikarenakan Terong, dan Bayam bukan termasuk nama buah-buahan, dengan demikian Salak, Terong, Nanas, Mangga dan Bayam adalah bukan himpunan dari nama-nama Buah-buahan.

- Majalengka, Ciamis, Bandung, Cilacap adalah himpunan nama kabupaten di Provinsi Jawa Barat. Pernyataan diatas juga bukan himpunan karena Cilacap adalah salah satu kabupaten di Provinsi Jawa Tengah. Jadi, Majalengka, Ciamis, Bandung, Cilacap adalah bukan himpunan nama kabupaten di Provinsi Jawa Barat.

- 2,3,4,6,8,9 adalah himpunan bilangan genap. Pernyataan itu juga bukan himpunan karena 3,9 adalah bukan bilangan genap. Maka, 2,3,4,6,8,9 adalah bukan himpunan bilangan genap.

- Kumpulan hasil karya yang indah (lukisan) ini bukan himpunan dikarenakan pendapat orang bersifat subyektif.

C. CARA MENULISKAN HIMPUNAN

Ø Notasi Himpunan

Sebuah himpunan biasanya ditandai dengan symbol-simbol tertentu. Himpunan biasanya dinyatakan dengan menggunakan huruf Kapital seperti A,B,C,D,E,F dst. Atau bisa juga ditandai dengan “Kurung Kurawal” sedangkan dari anggota tersebut biasanya ditandai dengan menggunakan huruf alphabet kecil seperti a,b,c,d dst. Untuk menyatakan sebuah himpunan ada 4 buah cara yaitu sebagai berikut :

1. Enumerasi

Enumerasi adalah cara menyatakan himpunan dengan menuliskan seluruh anggota himpunan didalam kurung kurawal. Setiap anggota dipisahkan dengan tanda koma. Contohnya : X={p,e,r,s,i,b}

2. Simbol Baku

Ada beberapa simbol yang telah dibakukan seperti symbol P adalah simbol yang menyatakan himpunan dari bilangan positif, ada juga simbol R digunakan untuk himpunan bilangan riil.

3. Notasi pembentukan himpunan

Himpunan juga bisa dituliskan dengan cirri-ciri umum dari anggota yang ada dianggota tersebut misalya: B = {x|x adalah himpunan bilangan genap}

4. Diagram Venn

Menyatakan sebuah himpunan dengan gambar grafis. Masing-masing himpunan digambarkan dalam sebuah lingkaran dan dilingkupi oleh himpunan semesta yang dinyatakan dalam persegi empat. Berikut contohnya :

5. Diagram garis

Contohnya seperti ini

Diagram diatas menyatakan bahwa A dan B merupakan himpunan dari C

6. Diagram Cartes

Diagram ini menjelaskan suatu himpunan dalam bentuk garis bilangan seperti dibawah ini.

7. Pembangunan Himpunan, yaitu pendefinisian himpunan tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut. Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan paradoks

D. MACAM-MACAM HIMPUNAN

Ada beberapa macam himpunan yang dapat kita pelajari dalam dunia matematika contohnya sebagai berikut :

a. Himpunan Kosong

Himpunan kosong merupakan sebuah himpunan yang tidak ada anggotanya didalamnya. Biasanya jenis himpunan ini dituliskan dengan simbol atau {}.

b. Himpunan Semesta(Universal)

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat atau mencangkup keseluruhan anggota yang sedang dibahas, biasanya himpunan ini ditandai dengan simbol S.

c. Himpunan Bilangan

Himpunan bilangan terdiri dari :

· Himpunan Bilangan Asli: N= {1,2,3…}

· Himpunan Bilangan Cacah : C= {0,1,2,3,…}

· Himpunan Bilangan Real : R

· Himpunan Bilangan Bulat : Z = {…,-1,0,1,2,…}

· Himpunan Bilangan Rasional : Q = {p/q : p, q € Z, q≠0}

d. Himpunan Terhingga( Denumerabel/Tercacah/terhitung/Countable)

Himpunan terhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya masih terhingga, meliputi himpunan kosong dan himpunan yang memiliki n elemen. Contohnya :

X = {a,b,c,d,e}, Y = {}

e. Himpunan Tak Terhingga( non-denumerabel/uncountable)

Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya tidak terhingga. Contohnya himpunan bilangan ganjil atau genap, himpunan bilangan bulat dan sebagainya.

f. Himpunan Bagian

Himpunan Bagian adalah himpunan dari anggota bagian anggota himpunan itu sendiri. Himpunan bagian mempunyai rumus yaitu . Contohnya A adalah himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika anggota himpunan A adalah anggota himpunan B. simbolnya adalah A B.

g. Himpunan Nol

Himpunan Nol adalah adalah himpunan yang mempunyai anggota nol. Misanya himpunan bilangan cacah kurang dari 1. Maka himpunan tersebut disebut himpunan nol.

E. OPERASI PADA HIMPUNAN

1. Gabungan

Operasi gabungan A B sebanding dengan A atau B, dan dalam anggota himpunanya adalah semua anggota termasuk himpunan A atau himpunan B. Contohnya sebagai berikut :

Ø {2,4} {4,2} = {2,4}

Ø {5,6} {2,4} = {2,4,5,6}

Ø {Henda} {Okty} = {Henda, Okty}

Ø {Bayam} {Kiwi} = {Bayam, Kiwi}

Jadi intinya Gabungan adalah gabungan antara himpunan bilangan A dengan himpunan B. Berikut adalah gambar dari Operasi Gabungan. Berikut adalah gambar dari A B.

2. Irisan

Operasi irisan dapat ditulis sebagai berikut A B dibaca A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya berada dikedua himpunan A dan B. Jika A B = maka dapat dikatakan himpunan A dan B terpisah atau yang biasa disebut dengan (disjoint).

Contoh dari operasi irisan adalah sebagai berikut :

Ø {1,3} {3,1} = {1,3} Kedua himpunan memuat angka yang sama dikedua himpunan tersebut jadi irisan kedua himpunan tersebut adalah {1,3}.

Ø {2,4,6,8} { 6,8} = {6,8}. Dikedua himpunan tersebut hanya ada dua angka yang ada diantara kedua himpunan tersebut baik himpunan satu dengan himpunan yang lainya jadi irisan dari kedua himpunan tersebut adalah {6,8}.

Ø {Ani, Diana, Titi} {Monica, Afli, Nanda} = . Kedua himpunan tersebut adalah terpisah atau disjoint dimana kedua anggota himpunan tersebut tidak ada yang sama baik dianggota himpunan satu dengan yang satu lagi.

3. Komplemen

Operasi komplemen adalah operasi yang anggotanya terdiri dari anggota diluar himpunan tersebut. Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan).

Diatas adalah gambar Komplemen B terhadap A.

Diatas adalah gambar Komplemen A terhadap U.

Contohnya Komplemen adalah sebagai berikut :

Ø {1,2}\ {2,1} =

Ø {a,b,c,d}\ {c,s} = {a,b,d,s}

Ø { 1,2,3,4,5,6} \ {5,6} = {1,2,3,4}

Jadi bisa disimpulkan komplemen adalah keterbalikan dari Irisan.

4. Penjumlahan himpunan

Penjumlahan himpunan adalah hasil dari jumlah himpunan A dan B. Dapat dituliskan sebagai berikut :

A + B = {x : x A, x B, x ( A B)}

5. Pengurangan Himpunan

Pengurangan himpunan adalah hasil dari pengurangan himpunan A oleh B. Ataupun sebaliknya sehingga dapat dituliskan sebagai berikut :

A – B = A\B = {x : x A, x B}

6. Hasil kali Kartesian atau Perkalian Himpunan

Perkalian himpunan merupakan operasu yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainya. Perkalian himpunan antara A dan B dapat didefinisikan A x B. Anggota himpunan |A x B| adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota himpunan A dan B adalah anggota himpunan B.

F. SIFAT-SIFAT OPERASI PADA HIMPUNAN

1. Sifat Pengurangan

· A – A = , A - = A, A – B = A

· A – ( B C) = (A – B) (A – C)

· A – (B C) = (A - B) (A – C)

2. Sifat Identitas

· A = , A S = A, A = A, A S = S

3. Sifat Idempoten

· A A = A, A A = A.

4. Sifat Himpunan Bagian

· (A B) A, (A B) B, (A – B) A

· Jika A B , maka A B = A, A B = B, dan A (B – A) = B

5. Sifat Refleksif

· A = A, A A, A A

6. Sifat Simetrik

· Jika A = B, maka B = A

· Jika A B, maka B A

7. Sifat Transitif

· Jika A = B dan B = C, maka A = C.

· Jika A B dan B C, maka A C.

8. Sifat Komunitatif

· A B = B A dan A B = B A

9. Sifat Asosiatif

· A (B = (A B) C.

· A (B C) = (A B) C.

10. Sifat Distributif

· A (B C) = (A B) (A C)

11. Sifat Komplemen

· A = , A = S, = A, = , = S

· = dan =

12. Sifat Dasar himpunan perkalian

· A x =

· A x (B C) = ( A x B ) ( A x C)

· (A B) x C = ( A x C) ( B x C )

· |A x B| = |B x A| = |A| x |B|

G. SOAL DAN PEMBAHASAN HIMPUNAN

1. Apa yang dimaksud dengan himpunan matematika?

Ø Himpunan adalah suatu objek atau benda yang dapat diklarifikasikan, didefinisikan atau dikelompokan dengan jelas.

2. Apakah {Pisang, nanas, semangka, terong} termasuk kedalam himpunan nama sayur-sayuran. Apakah pernyataan tersebut termasuk himpunan atau bukan himpunan? Jelaskan mengapa?

Ø Pernyataan tersebut bukan merupakan himpunan dikarenakan pisang, nanas, semangka adalah nama-nama buahan bukan nama-nama sayuran.

3. P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,13,14} dari himpunan tersebut himpunan kelipatan 2 yang ada pada himpunan tersebut adalah…?

Ø Berdasarkan data himpunan diatas yang termasuk himpunan kelipatan dua/ Q adalah Q = {2,4,6,8,10,12,14}.

4. Diketahui : A = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21} dan B = { 3,6,9,12,15,18}. Berapakan nilai dari A B ?

Ø Berdasarkan soal tersebut A adalah himpunan bilangan ganjil dan B adalah himpunan bilangan kelipatan 3. Yang ditanyakan adalah irisan dari kedua himpunan tersebut adalah anggota yang ada dikedua himpunan tersebut yaitu 3,9,15. Jadi nilai A B = {3,9,15}

5. Jika A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14} Berapakah nilai n(A)…

Ø n(A) adalah simbol untuk menyatakan jumlah anggota himpunan A yaitu ada 14(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14)

6. Huruf-huruf dari kalimat “AKU CINTA MATEMATIKA” mempunyai anggota himpunan sebanyak ?

Ø n(X) = 9 yaitu X = {A,K,U,C,I,N,M,E,T}.

7. Diberikan R = {x|x ≥ 9, x anggota bilangan asli} dan A = {7,9,11,13}, maka berapakah nilai dari R A ?

Ø Irisan adalah anggota yang ada baik dianggota himpunan R ataupun berada dihimpunan anggota A. Dan anggota yang ada dikedua himpunan tersebut adalah 9,11,13 jadi R A = {9,11,13}

8. Diketahui A = {x|x ≤ 5, x anggota bilangan Asli}, B = {2,4,6,8} dan C = { x|x ≤4, x anggota bilangan Cacah}. Berapakah nilai dari A B C ?

Ø Nilai dari A B C adalah irisan anggota yang diantara ketiga himpunan tersebut ada anggota yang sama. Dan diantara ketiga himpunan tersebut anggota yang ada diketiga-tiganya adalah 2,4 dengan rincian sebagai berikut:

A = { 1,2,3,4,5}, B = {2,4,6,8}, C = {0,1,2,3,4} Jelaslah dapat kita lihat anggota yang ada diketiga himpunan tersebut adalah 2 dan 4. Jadi dapat disimpulkan bahwa A B C = {2,4}.

9. Dari 300 burung yang ada di “Gembira Loka Zoo” ada 50 yang bulunya dominan berwarna biru, dan ada 100 burung yang bulunya dominan berwarna merah dan ada 30 burung yang perbandingan warna biru dan merah sama. Dan sisanya berwarna putih. Berapakah burung yang berwarna putih?

Ø Alternatif 1.

Diketahui : A adalah Burung dominan berwarna biru, B = Burung dominan berwarna merah, C adalah Burung yang perbandingan warna merah dan biru sama. D adalah Burung yang berwarna putih. X adalah himpunan burung yang ada di “Gembira Loka Z00”

n(A) = 50, n(B) = 100, n(A B) = 30 n(X) = 300, n(D)=?

n(A B) = (n(A) + n(B)- (n(X) – n(D))

30 = 50 + 100 – ( 300- n(D)

30 = 150 – 300 + n(D)

30 + 150 = n(D)

n(D) = 180

Ø Alternatif 2.

Pada alternatif kedua ini kita menggunakan Diagram Venn.

10. Jumlah Mahasiswa kelas D Pendidikan Matematika 2016 Universitas Siliwangi adalah 36. Tiap-tiap siswa memilih 2 kegiatan UKM yang mereka sukai. Diketahui ada 20 siswa yang mengikuti UKM Kopma dan 23 yang mengikuti kegiatan Persma. Sementara yang tidak mengikuti keduanya adalah 3 mahasiswa. Tentukan berapa banyak mahasiswa yang mengikuti keduanya? Dan gambar diagram Vennnya?

Ø Diketahui n(K) adalah jumlah mahasiswa kelas D Pendidikan Matematika 2016 yang mengikuti UKM Kopma, n(P) adalah jumlah mahasiswa kelas D Pendidikan Matematika 2016 yang mengikuti UKM Persma, n(S) adalah Jumlah Mahasiswa kelas D Pendidikan Matematika 2016, n(X) adalah Jumlah Mahasiswa kelas D Pendidikan Matematika 2016 yang tidak mengikuti keduanya baik Kopma maupun Persma, n( K P) adalah Jumlah Mahasiswa kelas D Pendidikan Matematika 2016 yang mengikuti keduanya.

n( K P) = n(K) + n(P) – (n(S) - n(X))

= 20 + 23 – ( 36 – 3)

= 43 – 33

n( K P) = 10 Mahasiswa.

Ø Dengan Diagram Venn

11. P = { a,b,c,} n(P) = 3. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari P dan sebutkan himpunan tersebut?

Ø Himpunan Bagian adalah himpunan dari anggota bagian anggota himpunan itu sendiri. Himpunan bagian mempunyai rumus yaitu . Himpunan bagian juga biasa disebut himpunan kausa. Maka banyaknya himpunan dari himpunan tersebut adalah = 8. Dan anggota himpunan tersebut adalah ({ {a}{b}{c}{ab}{ac}{bc}A).

12. S = { 0,1,2,3,4,5,6}, P = { 4,5,6}, R = {1,2,3,4}Tentukan

a. P R

b. P R

Ø P R adalah anggota yang ada dikedua himpunan baik himpunan P ataupun himpunan R. maka P R = {4}

Ø P R adalah gabungan anggota yang ada dikedua himpunan baik himpunan P ataupun himpunan R. Maka P R = { 1,2,3,4,5,6}

Ø adalah komplemen himpunan P dari himpunan S. Jadi = {0,1,2,3,}

Ø adalah komplemen himpunan R dari himpunan S. Jadi = {5,6}

Ø adalah anggota yang ada dikedua himpunan baik himpunan komplemen P ataupun himpunan komplemen R. Maka = ( karena dan adalah himpunan saling lepas atau disjoint.

Ø adalah gabungan anggota yang ada dikedua himpunan baik himpunan komplemen P ataupun himpunan komplemen R. Maka = {0,1,2,3,5,6}

13. Diketahui didalam sebuah Aula terdiri dari 240 siswa-siswi SMA N 01 SIDAREJA yang baru saja lulus pada bulan Mei 2016. Diketahui ada 120 siswa yang ingin melanjutkan ke Perguruan Tinggi Negeri dan 70 siswa yang ingin melanjutkan ke Perguruan Tinggi Swasta. Sedangkan yang tidak ingin melanjutkan adalah 90 anak dan sisanya memilih Perguruan Tinggi Negeri maupun Swasta. Berapakah siswa ataupun siswi yang memilih perguruan negeri maupun swasta?

Ø n(S) = 240

n(PTN) = 120

n(PTS) = 70

n(TM) = 90

n( PTN PTS) = …?

n( PTN PTS) = n(PTN) + n(PTS) – (n(S) - n(TM))

= 120 + 70 – ( 240 – 90)

= 190 – 150

= 40 siswa.

Jadi ada 40 siswa dan siswi yang masih belum menentukan antara PTN ataupun PTS.

14. Pahamilah Diagram Venn disamping!

Dalam acara tahunan SDN 03 Kedungreja

Akan mengadakan Study Wisata.

Setiap siswa diberikan pilihan yaitu ke

Semarang dan Yogyakarta, dan ternyata yang memilih semarang ada X siswa. Dan yang memilih Yogyakarta 35 siswa, sedangkan yang memilih keduanya adalah 25 siswa. Yang tidak memilih keduanya baik Semarang ataupun Yogyakarta adalah 4 siswa. Jika jumlah keseluruhan kelas V dan VI adalah 74. Maka yang memilih study wisata ke Semarang adalah … siswa.

Ø n( A B) = n(A) + n(B) – ( n(S) – n(T))

25 = X + 35 – ( 74 – 4)

25 = X + 35 – 70

X = 25 + 35

X = 60.

15. A = { 1,3,5,7,9,11}, B = { 1,2,3,4,5,6,7,8}, C = { 0,1,2,3,4,5}. Tentukan nilai dari A (B C) ? (Menggunakan sifat Distributif)

Ø (A B) = {1,3,5,7}

(A C) = {1,3,5}